Wie weit trägt eine Stichprobe?
Eine Stichprobe ist ein kleiner Teil einer größeren Gruppe, mit dem Sie die ganze Gruppe schätzen. Ein Konfidenzintervall sagt dazu, in welchem Bereich der wahre Wert vermutlich liegt.
Eine Umfrage fragt 25 von 20000 Studierenden, wie viel sie monatlich für Essen ausgeben. Niemand befragt alle. Sie wollen aber wissen, wie sicher das Ergebnis ist.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann sagen, wie eine Stichprobe einen Mittelwert schätzt und mit einem Intervall angeben, wie sicher das ist.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet |
|---|---|
| Grundgesamtheit | alle Fälle, über die Sie etwas wissen wollen |
| Stichprobe | der Teil der Fälle, den Sie wirklich messen |
| Stichprobenfehler | die zufällige Abweichung der Stichprobe vom wahren Wert |
| Standardfehler | die typische Abweichung eines Stichprobenmittelwerts |
| Konfidenzintervall | ein Bereich, der den wahren Wert mit hoher Chance enthält |
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Eine Stichprobe schätzt die Grundgesamtheit
Die Grundgesamtheit sind alle Fälle, hier alle 365 Tage des Verleihs. Eine Stichprobe ist ein Teil davon, zum Beispiel 30 Tage. Aus ihrem Mittelwert schätzen Sie den Mittelwert aller Tage.
Zwei Stichproben geben nie genau dieselbe Zahl. Diese zufällige Abweichung heißt Stichprobenfehler. Entscheidend ist, wie die Tage gewählt werden.
Die ersten 30 Tage des Jahres als Stichprobe
docker exec jupyter python3 -c "print(round(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].head(30).mean(), 1))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
30 zufällig gewählte Tage als Stichprobe
docker exec jupyter python3 -c "print(round(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].sample(30, random_state=1).mean(), 1))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Der Standardfehler wird mit mehr Fällen kleiner
Der Standardfehler sagt, wie stark Stichprobenmittelwerte typisch schwanken. Sie berechnen ihn als Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus n.
Vier mal so viele Fälle halbieren ihn also nur. Die Standardabweichung der Stichprobe teilen Sie durch n minus 1. Der Grund: Die Stichprobe liegt näher an ihrem eigenen Mittelwert als an dem der Grundgesamtheit.
Das Konfidenzintervall reicht 1,96 Standardfehler weit
Ein Konfidenzintervall von 95 Prozent reicht vom Mittelwert minus 1,96 Standardfehlern bis zum Mittelwert plus 1,96 Standardfehlern. Die Zahl 1,96 stammt aus der Normalverteilung.
Die Tabelle rechnet ein Beispiel mit 25 Tagen. Bei sehr kleinen Stichproben wäre der Faktor etwas größer, wir rechnen hier mit 1,96.
Beispiel: 25 Tage, Mittelwert 270, Standardabweichung 75
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Standardfehler | 75 geteilt durch die Wurzel aus 25 | 15 |
| Spielraum | 1,96 mal 15 | 29,4 |
| Untere Grenze | 270 minus 29,4 | 240,6 |
| Obere Grenze | 270 plus 29,4 | 299,4 |
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Ein Intervall in Python
werte = [4, 8, 10, 12, 16]
n = len(werte)
mittel = sum(werte) / n
quadrate = 0
for wert in werte:
quadrate = quadrate + (wert - mittel) ** 2
abweichung = (quadrate / (n - 1)) ** 0.5
fehler = abweichung / n ** 0.5
print("Mittelwert:", mittel)
print("Standardfehler:", round(fehler, 2))
print("Intervall:", round(mittel - 1.96 * fehler, 2), "bis", round(mittel + 1.96 * fehler, 2))
# Fügen Sie die Werte 9 und 11 hinzu und starten Sie erneut.
# Wird das Intervall schmaler oder breiter?
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele denken, eine größere Stichprobe heile jede schlechte Auswahl. Das stimmt nicht. Eine verzerrte Auswahl bleibt verzerrt, auch mit 300 statt 30 Fällen, etwa nur Winter oder nur Freiwillige. Zufall in der Auswahl hilft, Größe allein nicht.