Drei Zahlen statt 365
Mittelwert, Median und Standardabweichung fassen viele Zahlen in wenigen Angaben zusammen. Damit beschreiben Sie einen Datensatz so, dass andere ihn verstehen, ohne jede Zeile zu lesen.
Ein Fahrradverleih hat ein Jahr lang notiert, wie viele Räder an jedem Tag ausgeliehen wurden. Niemand liest 365 Zahlen. Die Leitung fragt: Wie viele Ausleihen hat ein typischer Tag, und wie stark weicht ein Tag davon ab?
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann Daten mit einem Wert für die Mitte und einem Wert für die Streuung zusammenfassen.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet |
|---|---|
| Mittelwert | die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl |
| Median | der mittlere Wert der sortierten Werte |
| Modus | der Wert, der am häufigsten vorkommt |
| Spannweite | der größte Wert minus der kleinste |
| Varianz | der Mittelwert der quadrierten Abstände zum Mittelwert |
| Standardabweichung | die Wurzel der Varianz, in der Einheit der Daten |
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Mittelwert, Median und Modus nennen die Mitte
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Bei gerader Anzahl nehmen Sie den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Der Modus ist der häufigste Wert.
Die Tabelle zeigt alle drei an acht Wartezeiten an einer Mensa-Kasse, in Minuten.
Beispiel: acht Wartezeiten in Minuten
| Kennzahl | So wird sie berechnet | Ergebnis |
|---|---|---|
| Werte, sortiert | 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | Summe 40 |
| Mittelwert | 40 geteilt durch 8 Werte | 5 |
| Median | Mittelwert des vierten (4) und fünften (5) Werts | 4,5 |
| Modus | Die 4 kommt dreimal vor | 4 |
| Spannweite | 9 minus 2 | 7 |
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Den Mittelwert der Ausleihen berechnen
docker exec jupyter python3 -c "print(round(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].mean(), 1))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Den Median der Ausleihen berechnen
docker exec jupyter python3 -c "print(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].median())"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Ein Ausreißer zieht den Mittelwert, nicht den Median
Ein Ausreißer ist ein Wert, der weit von den anderen liegt. Er zieht den Mittelwert stark zu sich. Der Median bewegt sich kaum.
Stellen Sie sich vor, eine Kasse fällt aus und einmal wartet jemand 40 Minuten. Ändern Sie dazu unten die 9 in 40 und vergleichen Sie beide Zahlen.
Mittelwert und Median im Vergleich
wartezeiten = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]
summe = 0
for zeit in wartezeiten:
summe = summe + zeit
print("Mittelwert:", summe / len(wartezeiten))
sortiert = sorted(wartezeiten)
mitte = len(sortiert) // 2
print("Median:", (sortiert[mitte - 1] + sortiert[mitte]) / 2)
# Ändern Sie die 9 in 40 und starten Sie erneut.
# Welche der beiden Zahlen springt?
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele denken, der Mittelwert sei immer der typische Wert. Das gilt nur ohne Ausreißer. Gibt es welche, beschreibt der Median den typischen Tag besser. Nennen Sie am besten beide Zahlen.
Die Varianz misst, wie weit die Werte streuen
Zwei Datensätze können denselben Mittelwert haben und doch ganz verschieden aussehen. Die Varianz sagt, wie weit die Werte im Schnitt vom Mittelwert entfernt liegen.
Sie bilden den Abstand jedes Werts zum Mittelwert und quadrieren ihn, damit sich Abstände nach oben und unten nicht aufheben. Die Varianz ist der Mittelwert dieser Quadrate. Ihre Wurzel ist die Standardabweichung.
Beispiel: die Abstände der acht Wartezeiten
| Wert | Abstand zum Mittelwert 5 | Quadrat des Abstands |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Summe | 0 | 32 |
| Varianz: 32 geteilt durch 8 | 4 | |
| Standardabweichung: Wurzel aus 4 | 2 Minuten |
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Die Varianz in Python
werte = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]
mittel = sum(werte) / len(werte)
quadrate = 0
for wert in werte:
quadrate = quadrate + (wert - mittel) ** 2
varianz = quadrate / len(werte)
print("Varianz:", varianz)
print("Standardabweichung:", varianz ** 0.5)
# Ändern Sie die 9 in 12 und starten Sie erneut.
# Wird die Streuung größer oder kleiner?
Durch n oder durch n minus 1 teilen?
Haben Sie alle Werte, teilen Sie die Summe der Quadrate durch n, die Anzahl der Werte. Ist Ihr Datensatz nur eine Stichprobe, teilen Sie durch n minus 1.
Die Bibliothek pandas macht das Zweite. Bei 365 Zeilen ist der Unterschied winzig, bei fünf Werten wäre er groß. Warum das so ist, klärt die vierte Lektion.
Die Standardabweichung mit n minus 1
docker exec jupyter python3 -c "print(round(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].std(), 1))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Die Standardabweichung mit n
docker exec jupyter python3 -c "print(round(__import__('pandas').read_csv('hires.csv')['hires'].std(ddof=0), 1))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.