Wann öffnet sich die Tür zum Rechenzentrum?
Aussagenlogik beschreibt, wann eine Aussage wahr oder falsch ist und wie man Aussagen verknüpft. Damit prüfen Sie Bedingungen in Programmen, Suchfiltern und Schaltungen ganz genau.
Ein Beispiel: Die Tür öffnet sich, wenn die Karte gültig ist und die PIN stimmt. Was gilt, wenn nur eines von beidem stimmt? Eine Wahrheitstabelle beantwortet das ohne Raten.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann eine Wahrheitstabelle aufstellen und entscheiden, ob zwei Aussagen gleichwertig sind.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet |
|---|---|
| Aussage | ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist |
| Verknüpfung | UND, ODER, NICHT oder WENN-DANN: Sie machen aus Aussagen eine neue |
| Wahrheitstabelle | eine Liste aller Fälle mit ihrem Ergebnis |
| Implikation | die Verknüpfung WENN p DANN q |
| Gleichwertig | in jedem Fall dasselbe Ergebnis |
| Tautologie | eine Aussage, die in jedem Fall wahr ist |
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Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. „Der Kurs beginnt um 9 Uhr“ ist eine Aussage. „Kommen Sie pünktlich“ ist keine, denn eine Bitte ist weder wahr noch falsch.
In Python ist jeder Vergleich eine Aussage. Er ergibt True oder False. Etwas dazwischen gibt es nicht.
Zwei Vergleiche als Aussagen
python3 -c "print(7 > 3, 7 == 3)"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
UND, ODER und NICHT bauen neue Aussagen
Eine Verknüpfung macht aus einer oder zwei Aussagen eine neue. „p UND q“ ist wahr, wenn beide wahr sind. „p ODER q“ ist wahr, wenn mindestens eine wahr ist. „NICHT p“ kehrt den Wert um.
Eine Wahrheitstabelle listet jeden Fall von p und q mit dem Ergebnis. Bei zwei Aussagen sind es vier Zeilen.
Wahrheitstabelle für UND, ODER und NICHT
| p | q | p UND q | p ODER q | NICHT p |
|---|---|---|---|---|
| wahr | wahr | wahr | wahr | falsch |
| wahr | falsch | falsch | wahr | falsch |
| falsch | wahr | falsch | wahr | wahr |
| falsch | falsch | falsch | falsch | wahr |
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Die drei Verknüpfungen in Python
python3 -c "print(True and False, True or False, not True)"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
WENN-DANN ist ein Versprechen
Eine Implikation „WENN p DANN q“ ist ein Versprechen. Beispiel: Wenn Sie bezahlen, bekommen Sie ein Ticket.
Das Versprechen ist nur gebrochen, wenn Sie bezahlt haben und kein Ticket bekommen. In den anderen drei Fällen ist es nicht gebrochen, also wahr.
Wahrheitstabelle der Implikation
| p: bezahlt | q: Ticket | WENN p DANN q |
|---|---|---|
| wahr | wahr | wahr |
| wahr | falsch | falsch |
| falsch | wahr | wahr |
| falsch | falsch | wahr |
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Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele glauben, „WENN p DANN q“ sei falsch, sobald p falsch ist. Das stimmt nicht. Die Aussage verspricht nur etwas für den Fall, dass p wahr ist. Ist p falsch, wurde nichts gebrochen, und die Implikation ist wahr.
WENN-DANN als NICHT p ODER q
python3 -c "print((not True) or False, (not False) or False)"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Gleichwertige Aussagen haben gleiche Spalten
Zwei Aussagen sind gleichwertig, wenn sie in jeder Zeile der Tabelle dasselbe Ergebnis haben. Ein bekanntes Paar ist „NICHT (p UND q)“ und „(NICHT p) ODER (NICHT q)“. Es heißt Gesetz von De Morgan.
Im Alltag: „Nicht beides zugleich“ sagt dasselbe wie „mindestens eines fehlt“.
Beispiel: das Gesetz von De Morgan
| p | q | p UND q | NICHT (p UND q) | NICHT p | NICHT q | (NICHT p) ODER (NICHT q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| wahr | wahr | wahr | falsch | falsch | falsch | falsch |
| wahr | falsch | falsch | wahr | falsch | wahr | wahr |
| falsch | wahr | falsch | wahr | wahr | falsch | wahr |
| falsch | falsch | falsch | wahr | wahr | wahr | wahr |
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Beide Spalten für alle vier Fälle
python3 -c "print([not (a and b) for a in (0, 1) for b in (0, 1)], [(not a) or (not b) for a in (0, 1) for b in (0, 1)])"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Eine Fallunterscheidung beweist eine Aussage
Eine Aussage gilt immer, wenn sie in jedem möglichen Fall gilt. Das heißt Beweis durch Fallunterscheidung. Beispiel: „p ODER NICHT p“.
Fall 1: p ist wahr. Dann ist die ODER-Aussage wahr. Fall 2: p ist falsch. Dann ist NICHT p wahr, und die ODER-Aussage ist wieder wahr. Mehr Fälle gibt es nicht. Die Aussage ist also eine Tautologie.
Weiterführend: drei Aussagen, acht Zeilen
Mit drei Aussagen p, q und r hat die Tabelle 8 Zeilen, denn jede neue Aussage verdoppelt die Zahl der Fälle. Schreiben Sie auf Papier die Tabelle für „p UND (q ODER r)“.
Erweitern Sie sie um „(p UND q) ODER (p UND r)“. Sind beide Spalten gleich? Schreiben Sie die Antwort in einem Satz auf.