Wie viele Studierende sind es insgesamt?
Eine Menge ist eine Sammlung verschiedener Dinge, bei der nur zählt, ob etwas dazugehört. Mit Mengen beschreiben Sie Gruppen genau und zählen ihre Mitglieder richtig.
Ein Beispiel: 4 Studierende belegen Python, 5 belegen Statistik, und 2 belegen beide Kurse. Es sind nicht 9 Personen. Warum nicht, zeigt diese Lektion.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann Mengen vereinigen, schneiden und voneinander abziehen und ihre Elemente zählen.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet | Beispiel |
|---|---|---|
| Menge | eine Sammlung verschiedener Dinge ohne Reihenfolge | |
| Element | ein Ding, das in einer Menge liegt | |
| Vereinigung | alles, was in mindestens einer der Mengen liegt | A ∪ B |
| Schnittmenge | alles, was in beiden Mengen liegt | A ∩ B |
| Differenz | alles aus der ersten Menge, was nicht in der zweiten liegt | A \ B |
| Mächtigkeit | die Zahl der Elemente einer Menge |
Die Zellen, die Lernende ausfüllen, bleiben in dieser Vorschau leer.
Eine Menge enthält jedes Element nur einmal
In einer Menge zählt nur, ob ein Element dazugehört. Die Reihenfolge ist egal, und ein Element kommt nie doppelt vor. Man schreibt die Elemente in geschweifte Klammern.
Beispiel: Die Menge {Anna, Ben, Chiara, Dilan} sind die Studierenden im Python-Kurs. Schreibt man Anna zweimal hin, ist es trotzdem dieselbe Menge.
Python lässt Doppelte in einer Menge weg
python3 -c "print(sorted({'Anna', 'Ben', 'Anna'}))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Drei Operationen verknüpfen zwei Mengen
Sei A der Python-Kurs und B der Statistik-Kurs. Die Vereinigung A ∪ B enthält alle, die in mindestens einem Kurs sind. Die Schnittmenge A ∩ B enthält alle, die in beiden sind.
Die Differenz A \ B enthält alle aus A, die nicht in B sind. Hier sind das die, die nur Python belegen.
Beispiel: wer liegt in welcher Menge
| Person | Python (A) | Statistik (B) | Vereinigung | Schnittmenge | Differenz A \ B |
|---|---|---|---|---|---|
| Anna | ja | nein | ja | nein | ja |
| Ben | ja | nein | ja | nein | ja |
| Chiara | ja | ja | ja | ja | nein |
| Dilan | ja | ja | ja | ja | nein |
| Emre | nein | ja | ja | nein | nein |
| Fiona | nein | ja | ja | nein | nein |
| Gina | nein | ja | ja | nein | nein |
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Die drei Operationen auf den Kursen
python3 -c "A = {'Anna', 'Ben', 'Chiara', 'Dilan'}; B = {'Chiara', 'Dilan', 'Emre', 'Fiona', 'Gina'}; print(sorted(A | B)); print(sorted(A & B)); print(sorted(A - B))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Beim Zählen wird die Schnittmenge doppelt gezählt
Die Mächtigkeit einer Menge ist die Zahl ihrer Elemente. Zählen Sie A und B einzeln und addieren, kommen die Personen in beiden Kursen zweimal vor.
Darum zieht man die Schnittmenge einmal ab: Mächtigkeit der Vereinigung gleich Mächtigkeit von A plus Mächtigkeit von B minus Mächtigkeit der Schnittmenge. Das heißt Prinzip von Inklusion und Exklusion.
Beispiel: die Studierenden zählen
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Python-Kurs zählen | Anna, Ben, Chiara, Dilan | 4 |
| Statistik-Kurs zählen | Chiara, Dilan, Emre, Fiona, Gina | 5 |
| Beide Zahlen addieren | 4 plus 5 | 9 |
| Schnittmenge zählen | Chiara, Dilan | 2 |
| Schnittmenge einmal abziehen | 9 minus 2 | 7 |
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Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele rechnen 4 plus 5 gleich 9 und halten das für die Zahl aller Studierenden. Chiara und Dilan stehen aber in beiden Listen. Sie sind dann zweimal gezählt. Ziehen Sie die Schnittmenge einmal ab, dann stimmt die Zahl: 7.
Die Zahlen aus der Tabelle in Python
python3 -c "A = {'Anna', 'Ben', 'Chiara', 'Dilan'}; B = {'Chiara', 'Dilan', 'Emre', 'Fiona', 'Gina'}; print(len(A), len(B), len(A | B), len(A & B))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Weiterführend: drei Kurse
Jetzt kommt ein dritter Kurs C hinzu, Datenbanken. Es gilt: A hat 4 Elemente, B hat 5 und C hat 3. A und B haben 2 gemeinsame, A und C haben 1, B und C haben 1. In allen drei Kursen sitzt 1 Person.
Wie viele Personen gibt es insgesamt? Addieren Sie die drei Größen, ziehen Sie die drei Paare ab und addieren Sie die Person in allen drei wieder dazu. Warum ist der letzte Schritt nötig?