Welcher Kurs findet in welchem Raum statt?
Eine Abbildung, auch Funktion genannt, ordnet jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zu. Mit den Wörtern injektiv, surjektiv und bijektiv sagen Sie genau, wie gut eine Zuordnung passt.
Ein Beispiel: Ein Raumplan ordnet jedem Kurs einen Raum zu. Zwei Kurse im selben Raum? Ein Raum ohne Kurs? Dafür gibt es klare Begriffe.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann sagen, ob eine Zuordnung eine Abbildung ist und ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet |
|---|---|
| Abbildung | eine Zuordnung, die jedem Eingabewert genau einen Wert gibt |
| Definitionsmenge | alle erlaubten Eingabewerte |
| Wertemenge | alle Werte, die herauskommen dürfen |
| Injektiv | keine zwei Eingaben haben denselben Wert |
| Surjektiv | jeder Wert der Wertemenge kommt vor |
| Bijektiv | injektiv und surjektiv zugleich |
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Eine Relation ist eine Menge von Paaren
Eine Relation verbindet Elemente zweier Mengen zu Paaren. Die Paare (Python, H1) und (Statistik, H2) sagen, welcher Kurs in welchem Raum liegt.
Eine Relation darf beliebig sein: Ein Kurs kann in keinem, einem oder mehreren Räumen vorkommen. Erst eine Abbildung ist strenger.
Beispiel: ein Raumplan als Paare
| Kurs (Eingabe) | Raum (Wert) |
|---|---|
| Python | H1 |
| Statistik | H2 |
| Datenbanken | H1 |
| Netze | H2 |
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Eine Abbildung gibt jeder Eingabe genau einen Wert
Eine Abbildung ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Genau eines heißt: nicht null und nicht zwei.
Im Raumplan sind die Kurse die Definitionsmenge und die Räume H1, H2 und H3 die Wertemenge. Der Plan ist eine Abbildung, denn jeder Kurs hat einen Raum.
Ein Python-Wörterbuch ist eine Abbildung
python3 -c "m = {1: 'a', 2: 'b', 3: 'a'}; print(len(m), len(set(m.values())), set(m.values()) == {'a', 'b', 'c'})"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Injektiv, surjektiv und bijektiv beschreiben die Passung
Eine Abbildung ist injektiv, wenn keine zwei Eingaben denselben Wert haben. Sie ist surjektiv, wenn jeder Wert der Wertemenge mindestens einmal vorkommt.
Ist sie beides, heißt sie bijektiv. Dann gehört zu jedem Wert genau eine Eingabe, und man kann die Zuordnung umdrehen.
Beispiel: vier Zuordnungen im Vergleich
| Zuordnung | Injektiv | Surjektiv | Art |
|---|---|---|---|
| 4 Kurse auf H1, H2, H3: H1 zweimal, H3 nie | nein | nein | weder noch |
| 2 Kurse auf H1, H2, H3: verschiedene Räume | ja | nein | injektiv |
| 3 Kurse auf H1 und H2: H1 zweimal | nein | ja | surjektiv |
| 3 Kurse auf H1, H2, H3: jeder Raum einmal | ja | ja | bijektiv |
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Drei Kurse, drei Räume, jeder Raum einmal
python3 -c "n = {'Anna': 'H1', 'Ben': 'H2', 'Chiara': 'H3'}; print(len(n), len(set(n.values())), set(n.values()) == {'H1', 'H2', 'H3'})"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele glauben, eine Abbildung dürfe zwei Eingaben nicht auf denselben Wert legen. Das darf sie. Nur eine injektive Abbildung darf es nicht. Verboten ist bei einer Abbildung etwas anderes: einer Eingabe zwei Werte zu geben oder keinen.
Eine Äquivalenzrelation sortiert in Gruppen
Manche Relationen sortieren Elemente in Gruppen. „Wohnt in derselben Stadt wie“ ist so eine. Sie heißt Äquivalenzrelation, wenn drei Eigenschaften gelten.
Reflexiv: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst. Symmetrisch: Gilt A zu B, gilt auch B zu A. Transitiv: Gilt A zu B und B zu C, gilt auch A zu C.
Beispiel: zwei Relationen im Vergleich
| Eigenschaft | wohnt in derselben Stadt wie | ist größer als |
|---|---|---|
| Reflexiv | ja | nein |
| Symmetrisch | ja | nein |
| Transitiv | ja | ja |
| Äquivalenzrelation | ja | nein |
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Weiterführend: die Umkehrung
Eine bijektive Abbildung kann man umdrehen: Aus Kurs und Raum wird Raum und Kurs. Das geht nur, weil jeder Raum genau einen Kurs hat.
Drehen Sie die Paare des Raumplans um. Welche Eigenschaft der Umkehrung verletzt der Plan mit H1 zweimal? Schreiben Sie es in einem Satz auf.