Wie viele Menüs hat die Mensa?
Kombinatorik zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, ohne alle aufzuschreiben. Sie brauchen das, um Passwörter, Teams und Spielpläne einzuschätzen.
Ein Beispiel: Eine Mensa bietet 3 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 2 Nachtische an. Alle Menüs aufzuschreiben dauert lange. Multiplizieren geht in einer Sekunde.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann zählen, wie viele Möglichkeiten es für Wahlen, Anordnungen und Auswahlen gibt.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet | Beispiel |
|---|---|---|
| Produktregel | bei Wahlen nacheinander multipliziert man die Möglichkeiten | |
| Fakultät | das Produkt aller ganzen Zahlen von n bis 1 | 5! = 120 |
| Permutation | eine Anordnung, bei der die Reihenfolge zählt | |
| Kombination | eine Auswahl, bei der die Reihenfolge egal ist | |
| Binomialkoeffizient | die Zahl der Kombinationen, gesprochen n über k |
Die Zellen, die Lernende ausfüllen, bleiben in dieser Vorschau leer.
Bei Wahlen nacheinander multipliziert man
Die Produktregel sagt: Wählen Sie nacheinander, dann multiplizieren Sie die Zahl der Möglichkeiten jeder Wahl.
In der Mensa gibt es 3 Vorspeisen. Zu jeder passen 4 Hauptgerichte, und zu jeder Kombination passen 2 Nachtische. Das sind 3 mal 4 mal 2 Menüs.
Beispiel: die Menüs der Mensa
| Wahl | Möglichkeiten | Bisher insgesamt |
|---|---|---|
| Vorspeise | 3 | 3 |
| Hauptgericht | 4 | 3 mal 4 = 12 |
| Nachtisch | 2 | 12 mal 2 = 24 |
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Menüs, ein Zahlencode und ein Passwort
python3 -c "print(3 * 4 * 2, 10 ** 4, 26 ** 6)"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele addieren 3 plus 4 plus 2 und kommen auf 9. Addieren ist richtig, wenn Sie zwischen Alternativen wählen: Pizza oder Pasta. Multiplizieren ist richtig, wenn Sie nacheinander mehrere Dinge wählen: erst die Vorspeise, dann das Hauptgericht.
Eine Permutation ordnet Dinge in eine Reihenfolge
Fünf Personen stehen in einer Schlange. Für Platz 1 gibt es 5 Personen, für Platz 2 noch 4, dann 3, 2 und 1.
Nach der Produktregel sind das 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1, also 120 Anordnungen. Dieses Produkt heißt Fakultät und wird 5! geschrieben. Eine Anordnung heißt Permutation.
Beispiel: Schlange und Siegerpodium
| Frage | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| 5 Personen in einer Schlange | 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 | 120 |
| Podium aus 5 Läufern: Gold, Silber, Bronze | 5 mal 4 mal 3 | 60 |
| 3 Personen in einer Reihe | 3 mal 2 mal 1 | 6 |
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Fakultät und Podium in Python
python3 -c "import math; print(math.factorial(5), math.perm(5, 3))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Eine Kombination ignoriert die Reihenfolge
Ein Team aus 3 von 5 Personen ist eine Kombination: Ob Ana, Ben, Cem oder Cem, Ben, Ana, ist dasselbe Team.
Zählen Sie erst mit Reihenfolge: 5 mal 4 mal 3 gleich 60. Jedes Team kommt dabei in 3! gleich 6 Reihenfolgen vor. Also teilen Sie 60 durch 6 und erhalten 10 Teams. Das Ergebnis heißt Binomialkoeffizient, „5 über 3“.
Beispiel: Teams aus 5 Personen
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Mit Reihenfolge zählen | 5 mal 4 mal 3 | 60 |
| Reihenfolgen je Team | 3 mal 2 mal 1 | 6 |
| Teams | 60 geteilt durch 6 | 10 |
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Teams und ein Lotto mit 6 aus 49
python3 -c "import math; print(math.comb(5, 3), math.comb(49, 6))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele nehmen immer die Formel mit Reihenfolge. Fragen Sie sich: Zählt dieselbe Gruppe in anderer Reihenfolge als etwas Neues? Beim Podium ja, denn Gold ist nicht Bronze. Beim Team nein. Dann müssen Sie durch die Reihenfolgen teilen.
Weiterführend: ein Passwort ohne Wiederholung
Ein Passwort hat 4 Zeichen aus 10 Ziffern. Mit Wiederholung gibt es 10 mal 10 mal 10 mal 10 gleich 10000 Möglichkeiten.
Darf keine Ziffer zweimal vorkommen, sind es 10 mal 9 mal 8 mal 7. Rechnen Sie es aus und sagen Sie, ob es mehr oder weniger sind. Prüfen Sie mit math.perm(10, 4).