Wie ein Zahlenpaar die Lage eines Punktes festlegt
Ein Koordinatensystem beschreibt die Lage eines Punktes mit zwei Zahlen: wie weit er nach rechts und wie weit er nach oben liegt. Ein Winkel sagt zusätzlich, in welche Richtung etwas zeigt.
Ein Roboterarm braucht beides, um zu wissen, wo seine Hand ist. Alles in diesem Kit ist eine Simulation: Es gibt keinen echten Roboter, nur Rechnungen im Lab.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann sagen, wo ein Punkt liegt und in welche Richtung er zeigt, und ich kann ihn um einen Winkel drehen.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet | Beispiel |
|---|---|---|
| Koordinaten | zwei Zahlen, die einen Punkt in der Ebene festlegen | (3, 4) |
| Ursprung | der Punkt (0, 0), von dem aus gemessen wird | |
| Winkel | wie weit etwas von der x-Achse weggedreht ist, in Grad | |
| Drehung | ein Punkt wandert auf einem Kreis um den Ursprung | |
| Bogenmaß | die zweite Art, Winkel zu messen: 180 Grad sind etwa 3,14 |
Die Zellen, die Lernende ausfüllen, bleiben in dieser Vorschau leer.
Zwei Zahlen legen einen Punkt fest
Die erste Zahl heißt x und sagt, wie weit der Punkt nach rechts liegt. Die zweite heißt y und sagt, wie weit er nach oben liegt. Negative Zahlen gehen nach links und nach unten.
Der Ursprung ist der Punkt (0, 0). Den Abstand eines Punktes vom Ursprung liefert der Satz des Pythagoras: Wurzel aus x mal x plus y mal y.
Beispiel: Punkte auf dem Werktisch in Zentimetern
| Punkt (x, y) | Wo liegt er? | Abstand vom Ursprung |
|---|---|---|
| (3, 4) | 3 nach rechts, 4 nach oben | 5 |
| (0, 6) | genau über dem Ursprung | 6 |
| (-5, 0) | 5 nach links | 5 |
| (6, 8) | 6 nach rechts, 8 nach oben | 10 |
Die Zellen, die Lernende ausfüllen, bleiben in dieser Vorschau leer.
Der Abstand des Punktes (6, 8)
docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; print(np.hypot(6, 8))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Eine Drehung bewegt einen Punkt auf einem Kreis
Bei einer Drehung um den Winkel w wandert ein Punkt auf einem Kreis um den Ursprung. Sein Abstand zum Ursprung bleibt gleich, nur die Richtung ändert sich.
Die neuen Koordinaten folgen aus zwei Zeilen: x neu ist x mal cos(w) minus y mal sin(w). y neu ist x mal sin(w) plus y mal cos(w).
Beispiel: der Punkt (3, 4) wird gedreht
| Drehung | Neuer Punkt | Abstand vom Ursprung |
|---|---|---|
| 0 Grad | (3, 4) | 5 |
| 90 Grad | (-4, 3) | 5 |
| 180 Grad | (-3, -4) | 5 |
| 270 Grad | (4, -3) | 5 |
Die Zellen, die Lernende ausfüllen, bleiben in dieser Vorschau leer.
Der Punkt (3, 4) um 90 Grad gedreht
docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; w = np.radians(90); print(np.round(3 * np.cos(w) - 4 * np.sin(w), 6), np.round(3 * np.sin(w) + 4 * np.cos(w), 6))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Python rechnet Winkel im Bogenmaß
Die Funktionen cos und sin erwarten den Winkel im Bogenmaß. Dort sind 180 Grad etwa 3,14 und 90 Grad etwa 1,57.
Sie müssen das nicht im Kopf umrechnen. math.radians(90) macht aus Grad das Bogenmaß. Das ist die einzige Stelle in diesem Kit, an der das Bogenmaß vorkommt. Im Text steht der Winkel immer in Grad.
Einen Punkt in Python drehen
import math
# Ein Lagerregal-Punkt wird um den Ursprung gedreht.
x = 6
y = 2
winkel = 90 # in Grad
w = math.radians(winkel)
x_neu = x * math.cos(w) - y * math.sin(w)
y_neu = x * math.sin(w) + y * math.cos(w)
print(round(x_neu, 3), round(y_neu, 3))
# Ändern Sie winkel auf 180 und starten Sie erneut.
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele geben den Winkel in Grad direkt an cos und sin. Dann kommt eine falsche Zahl heraus, denn Python erwartet das Bogenmaß. Rechnen Sie den Winkel immer erst mit math.radians um.