真理値表と論理式の同値

真理値表とは、文が「真」か「偽」かを、あらゆる場合について並べた表です。表を書けば、2つの条件が同じ意味かどうかを、ひらめきではなく手順で確かめられます。

学食の割引が「学生で、かつ午後なら50円引き」と書かれているとします。別の人が同じ割引をちがう言い方で書いたとき、本当に同じでしょうか。論理の表がその答えをくれます。

命題は、真か偽のどちらかに決まる文です。「今日は月曜日です」は命題ですが、「早く来て」は命題ではありません。

命題 p と q から、新しい命題を作れます。かつは、両方が真のときだけ真です。またはは、少なくとも片方が真なら真です。ではないは、真と偽を入れかえます。コンピュータでは、真を1、偽を0で表します。

python3 -c "print(True and False, True or False, not True)"

python3 -c "print(1 & 1, 1 & 0, 1 | 0, 0 | 0)"

含意は、「p ならば q」の形の命題です。たとえば「合格したら、ジュースをおごる」という約束です。

約束が破られるのは、合格したのにおごらなかったときだけです。不合格なら、おごってもおごらなくても、約束は破られていません。だから p が偽のとき、含意は真です。

# 「p ならば q」は、「p ではない、または q」と同じ表になります。
for p in [True, False]:
    for q in [True, False]:
        print(p, q, (not p) or q)

2つの論理式の真理値表の答えの列が、すべての行で同じなら、同値です。どんな場合でも、真偽がいつも一致するということです。

有名な例がド・モルガンの法則です。「(p かつ q) ではない」と「(p ではない) または (q ではない)」は同値です。表で確かめましょう。

表の代わりに、場合を分けて言葉で示すこともできます。まず p が偽の場合です。(p かつ q) は偽なので、その否定は真です。右の式も、(p ではない) が真なので真です。

p が真の場合は、q で分けます。q が真なら両方とも偽、q が偽なら両方とも真です。すべての場合で一致しました。

# 2つの式が、4つの行すべてで同じ答えか調べます。
same = True
for p in [True, False]:
    for q in [True, False]:
        left = not (p and q)
        right = (not p) or (not q)
        if left != right:
            same = False
print("同値ですか:", same)
# right の or を and に変えて、もう一度実行してみましょう。

変数が p、q、r の3つなら、行は何通りでしょうか。表を書き、(p かつ q) または r と、(p または r) かつ (q または r) が同値か調べましょう。

Python では、for を3つ重ねれば全部の行を調べられます。