選び方は何通りあるか
場合の数とは、ある出来事が何通りあるかを、もれなく重ならずに数えたものです。パスワードや委員の選び方が何通りあるかが分かると、その安全さや、当たる見込みを考えられます。
数字4桁の暗証番号は、何通りあるでしょうか。1つずつ書き出さなくても、掛け算で求められます。
このレッスンのゴール
メモ
積の法則、順列、組合せを使って、選び方の数を求めることができる。
キーワード
| ことば | いみ | れい |
|---|---|---|
| 場合の数 | ある出来事の起こり方が、何通りあるか | |
| 積の法則 | 選ぶ段階が続くとき、選び方を掛ける決まり | |
| 階乗 | n から 1 まで全部を掛けた数 | 5! = 120 |
| 順列 | 順番に意味がある選び方 | |
| 組合せ | 順番に意味がない選び方 |
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選ぶ段階が続くなら掛け算
積の法則は、選ぶ段階が続くとき、各段階の選び方を掛ける決まりです。数字4桁の暗証番号は、各桁に0から9の10通りがあるので、10 × 10 × 10 × 10 = 10000通りです。
前の選び方によって、次の選び方の数が変わらないときに使えます。
例: 定食の組み合わせ
| 段階 | 選び方の数 |
|---|---|
| 主菜(焼き魚、唐揚げ、生姜焼き) | 3 |
| ごはん(白米、玄米) | 2 |
| 汁物(みそ汁、豚汁、すまし汁、スープ) | 4 |
| 定食の数 | 3 × 2 × 4 = 24 |
| 英小文字3字と数字2桁 | 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 1757600 |
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数字4桁と、小文字3字+数字2桁
python3 -c "print(10 ** 4, 26 ** 3 * 10 ** 2)"ここでは表示のみで、実行されません。無料アカウントを作成すると、実行ボタンで自分のラボのターミナルに入力できます。
順番に意味があるなら順列
階乗 n! は、n から 1 まで全部を掛けた数です。5! は 5 × 4 × 3 × 2 × 1 で、120です。5人を一列に並べる並べ方の数でもあります。
順列は、順番に意味がある選び方です。8人から1位、2位、3位を選ぶと、8 × 7 × 6 で336通りです。1位に選んだ人は、2位には選べないからです。
階乗と、並べ方の数
| n | n! | 計算 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 × 1 |
| 3 | 6 | 3 × 2 × 1 |
| 4 | 24 | 4 × 3 × 2 × 1 |
| 5 | 120 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 |
| 6 | 720 | 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 |
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5! と、8人から3人の順列
python3 -c "import math; print(math.factorial(5), math.perm(8, 3))"ここでは表示のみで、実行されません。無料アカウントを作成すると、実行ボタンで自分のラボのターミナルに入力できます。
for で階乗を求める
# 1 から n まで、順に掛けていきます。
n = 5
result = 1
for k in range(1, n + 1):
result = result * k
print(n, "の階乗は", result)
# n を 6 や 10 に変えて、表と見くらべましょう。
順番を気にしないなら組合せ
組合せは、順番に意味がない選び方です。8人から3人の委員を選ぶとき、田中、鈴木、佐藤の3人は、どの順に選んでも同じ委員会です。
順列の336通りでは、同じ3人が 3! = 6 通りに数えられています。だから 336 ÷ 6 = 56 通りです。
順列から組合せを作る
| 選び方 | 数 |
|---|---|
| 8人から3人を、順番をつけて選ぶ(順列) | 8 × 7 × 6 = 336 |
| 同じ3人の並べ方 | 3! = 6 |
| 順番を気にしない(組合せ) | 336 ÷ 6 = 56 |
| 1から43の数字から6個を選ぶ | 6096454 |
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56通りと、43個から6個の数
python3 -c "import math; print(math.comb(8, 3), math.comb(43, 6))"ここでは表示のみで、実行されません。無料アカウントを作成すると、実行ボタンで自分のラボのターミナルに入力できます。
よくある間違い
注意
「順列と組合せは、どちらも同じ式でよい」と考える人が多くいます。順番に意味があるかどうかで決まります。1位、2位、3位を決めるなら順列です。3人の委員を選ぶだけなら組合せで、順列を並べ方の数で割ります。
さらに挑戦
3人でジャンケンをすると、手の出し方は 3 × 3 × 3 = 27通りです。全員が同じ手を出す場合は3通りです。
3人が別々の手を出す場合は何通りでしょうか。順列で考えましょう。あいこになる場合の数を足して、27通りのうちあいこが何通りか求めましょう。