Wie viel mehr Arbeit macht ein weiterer Eintrag?
Die Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung an jeder Stelle an. Für einfache Funktionen gibt es feste Regeln, mit denen Sie sie exakt ausrechnen, ohne zu schätzen.
Ein Programm braucht für n Einträge n ** 2 Schritte. Bei 100 Einträgen fragen Sie: Wie viele Schritte kommen für einen weiteren hinzu? Die Regel sagt 2 * n, also etwa 200.
Am Ende dieser Lektion
Notiz
Ich kann mit festen Regeln die Ableitung einer einfachen Funktion berechnen.
Schlüsselwörter
| Begriff | Was er bedeutet | Beispiel |
|---|---|---|
| Polynom | eine Summe aus Potenzen von x mit festen Faktoren | x ** 3 + 2 * x |
| Potenzregel | die Hochzahl wird zum Faktor und um 1 kleiner | |
| Summenregel | eine Summe wird Glied für Glied abgeleitet | |
| Faktorregel | ein fester Faktor bleibt beim Ableiten stehen | |
| Produktregel | die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen |
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Die Potenzregel senkt die Hochzahl um 1
Bei x ** n wird die Hochzahl n zum Faktor, und die neue Hochzahl ist n - 1. Aus x ** 3 wird 3 * x ** 2.
Ein fester Faktor bleibt stehen (Faktorregel), und eine Konstante hat die Steigung 0, weil sie sich nie ändert. Die Tabelle zeigt typische Fälle.
Beispiel: Ableitungen einzelner Glieder
| Funktion | Regel | Ableitung |
|---|---|---|
| 7 | Eine Konstante ändert sich nie | 0 |
| x | Hochzahl 1 wird zum Faktor, übrig bleibt x hoch 0 | 1 |
| x ** 2 | 2 mal x hoch 1 | 2 * x |
| x ** 3 | 3 mal x hoch 2 | 3 * x ** 2 |
| x ** 4 | 4 mal x hoch 3 | 4 * x ** 3 |
| 5 * x ** 2 | Der Faktor 5 bleibt, dazu die Potenzregel | 10 * x |
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Eine Summe wird Glied für Glied abgeleitet
Die Summenregel sagt: Sie leiten jedes Glied einer Summe einzeln ab und addieren die Ergebnisse. Ein Minuszeichen bleibt ein Minuszeichen.
So lässt sich jedes Polynom ableiten, also eine Summe aus Potenzen von x mit festen Faktoren. Die Tabelle rechnet ein Beispiel Schritt für Schritt.
Beispiel: ein Polynom ableiten und auswerten
| Glied | Ableitung | Wert bei x = 2 |
|---|---|---|
| x ** 3 | 3 * x ** 2 | 12 |
| 2 * x ** 2 | 4 * x | 8 |
| -5 * x | -5 | -5 |
| 7 | 0 | 0 |
| Summe | 3 * x ** 2 + 4 * x - 5 | 12 + 8 - 5 = 15 |
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Das Polynom mit SymPy ableiten
docker exec jupyter python3 -c "import sympy as sp; x = sp.symbols('x'); print(sp.diff(x**3 + 2*x**2 - 5*x + 7, x))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Die Regel mit einer Schätzung prüfen
docker exec jupyter python3 -c "x = 2; h = 0.0001; f = x**3 + 2*x**2 - 5*x + 7; g = (x+h)**3 + 2*(x+h)**2 - 5*(x+h) + 7; print(round((g - f) / h, 2))"Hier angezeigt, nicht ausgeführt. Erstellen Sie ein kostenloses Konto, um „Ausführen“ zu drücken und ihn im Terminal Ihres eigenen Labs einzugeben.
Regel und Schätzung nebeneinander
def f(x):
return x ** 3 + 2 * x ** 2 - 5 * x + 7
def regel(x):
return 3 * x ** 2 + 4 * x - 5
x = 2
h = 0.0001
schaetzung = (f(x + h) - f(x)) / h
print("Regel:", regel(x))
print("Schätzung:", round(schaetzung, 3))
# Ändern Sie x in -1. Stimmen beide Zahlen noch überein?
Die Produktregel braucht beide Ableitungen
Ein Produkt aus zwei Funktionen u und v leiten Sie so ab: Ableitung von u mal v, plus u mal Ableitung von v.
Für x ** 2 * (x + 1) ergibt das 2 * x * (x + 1) + x ** 2 * 1. Das ist 3 * x ** 2 + 2 * x. Bei x = 2 sind das 16.
Ein häufiger Fehler
Warnung
Viele denken, die Ableitung eines Produkts sei das Produkt der Ableitungen. Das ist falsch. Bei einem Produkt gilt immer: erste Ableitung mal zweite Funktion plus erste Funktion mal zweite Ableitung. Nur bei einer Summe leiten Sie Glied für Glied ab.
Richtige und falsche Regel im Vergleich
def u(x):
return x ** 2
def v(x):
return x + 1
x = 2
richtig = 2 * x * v(x) + u(x) * 1 # u' mal v plus u mal v'
falsch = 2 * x * 1 # nur u' mal v'
print("Produktregel:", richtig)
print("Produkt der Ableitungen:", falsch)
h = 0.0001
print("Schätzung:", round((u(x + h) * v(x + h) - u(x) * v(x)) / h, 2))
# Welche der beiden ersten Zahlen passt zur Schätzung?