レイと球の交差判定

レイトレーシングでは、目から画面のピクセルへ向けて、レイと呼ぶ半直線を飛ばし、何に当たるかを調べます。球に当たるかどうかは、2次方程式を解くだけで分かります。

このレッスンでは、レイを式で表し、球との交差を判定して、当たる場所までの距離を求めます。

レイは、出発点 o から、方向 d へ伸びる半直線です。レイの上の点は、o + t × d と書けます。t は 0 以上の数で、どこまで進んだかを表します。

方向 d の長さが 2 なら、t が 1 増えるごとに、2 進みます。点は (x, y, z) の3つの数で表します。

球は、中心 m から、距離が半径 r の点の集まりです。点 p が球の上にあるのは、p と m の距離の2乗が、r の2乗に等しいときです。

レイの点 o + t × d を、この式に入れると、t についての2次方程式になります。これを解けば、レイが球に当たる t が分かります。

2次方程式は、a × t² + b × t + c = 0 の形になります。a は d と d の内積、b は d と (o − m) の内積の 2 倍、c は (o − m) と (o − m) の内積から r² を引いた値です。

判別式は b² − 4 × a × c です。負なら外れ、0 なら1点にかすり、正なら2点で当たります。

o = [0, 0, 0]
d = [0, 0, 1]
m = [0, 0, 7]
r = 2
offset = [o[0] - m[0], o[1] - m[1], o[2] - m[2]]
a = d[0] * d[0] + d[1] * d[1] + d[2] * d[2]
b = 2 * (d[0] * offset[0] + d[1] * offset[1] + d[2] * offset[2])
c = offset[0] ** 2 + offset[1] ** 2 + offset[2] ** 2 - r * r
print(a, b, c)
print("判別式:", b * b - 4 * a * c)
# m を [0, 5, 7] に変えて、もう一度実行します。
# 判別式は、負になりますか。

numpy の roots は、2次方程式の解を求めます。a、b、c の順に渡します。

次のコマンドは、a = 1、b = -14、c = 45 の解を表示します。出力は [9. 5.] で、t が 9 と 5 の2点で当たります。小さい方の t = 5 が、手前の交点 (0, 0, 5) です。

docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; print(np.roots([1, -14, 45]))"

2つの解のうち、レイが先に通るのは、小さい方の t です。ただし、t が負なら、その点はレイの後ろにあります。

t が両方とも負なら、球はレイの後ろにあり、当たりません。出発点が球の中なら、小さい方は負で、大きい方が出口になります。

すべてのピクセルから、同じ向きにレイを飛ばしたとします。球を正面から見ると、ピクセル (x, y) のレイが、中心 (10, 5)、半径 4 の球に当たるのは、(x − 10)² + (y − 5)² が 16 以下のときです。

次のコマンドは、当たるピクセルを # で、外れるピクセルを . で、21 × 11 の枠に並べます。真ん中の行は # が9個で、上から2行目と下から2行目は1個です。丸い形が見えます。

docker exec jupyter python3 -c "print(chr(10).join(''.join('#' if (x - 10) ** 2 + (y - 5) ** 2 <= 16 else '.' for x in range(21)) for y in range(11)))"