導関数は、傾きを返す関数
導関数（どうかんすう）とは、関数の各点での傾きを、新しい関数として表したものです。規則を知っていれば、刻み幅を決めて何度も計算しなくても、傾きを一度に求められます。
前の回では、数の表から傾きを見積もりました。この回では、よく使う式の傾きを、紙の上の規則で出し、見積もりと照らして確かめます。
このレッスンのゴール
メモ
規則を使って、簡単な多項式の導関数を求めることができる。
キーワード
| ことば | いみ | れい |
|---|---|---|
| 導関数 | 各点での傾きを返す関数。f(x) に対して f′(x) と書く | |
| 多項式 | x のべきに数を掛けて足した式 | 2x² + 5x + 1 |
| 係数 | x のべきに掛かっている数 | |
| べき乗の規則 | x の n 乗の導関数は n × x の (n−1) 乗 | |
| 積の規則 | 2つの式の積の導関数を求める決まり |
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x の n 乗の導関数は n 倍して1下げる
多項式の導関数は、項ごとに求めます。x の n 乗は、べき乗の規則で、n × x の (n−1) 乗になります。指数を前に出して、指数を1つ下げます。
数だけの項（定数）は、変わらないので傾きは 0 です。数が掛かっているときは、その数を残します。
例: よく使う導関数
| f(x) | 導関数 f′(x) | 理由 |
|---|---|---|
| 5 | 0 | 変わらない数は傾き 0 |
| x | 1 | x の 1 乗、1 × x の 0 乗 |
| x² | 2x | 2 を前に出し、指数を 1 にする |
| x³ | 3x² | 3 を前に出し、指数を 2 にする |
| 4x³ | 12x² | 4 を残し、3x² に掛ける |
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和の導関数は、項ごとの導関数の和
足し算でつながった式は、項ごとに導関数を求めて足します。f(x) = 2x² + 5x + 1 なら、2x² は 4x、5x は 5、1 は 0 です。
だから f′(x) = 4x + 5 です。x = 4 のときの傾きは、4 × 4 + 5 で 21 になります。
公式と数値の見積もりを比べる
# f(x) = 2x² + 5x + 1 の導関数は、規則から 4x + 5 になります。
def f(x):
return 2 * x ** 2 + 5 * x + 1
def formula(x):
return 4 * x + 5
h = 0.001
for x in [0, 1, 4]:
estimate = (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)
print("x =", x, "公式:", formula(x), "数値:", round(estimate, 3))
# f の 5 * x を 7 * x に変えて、公式の 5 も 7 に直してから実行してください。
# 公式と数値は、まだ一致しますか。
x = 4 の傾きを数値で確かめる
docker exec jupyter python3 -c "print(round((2 * 4.001 ** 2 + 5 * 4.001 - 2 * 3.999 ** 2 - 5 * 3.999) / 0.002, 3))"ここでは表示のみで、実行されません。無料アカウントを作成すると、実行ボタンで自分のラボのターミナルに入力できます。
積の導関数は、片方ずつ微分して足す
2つの式を掛けた形は、積の規則で求めます。「前の式の導関数 × 後ろの式」と「前の式 × 後ろの式の導関数」を足します。
f(x) = x × (x + 2) では、1 × (x + 2) と x × 1 を足して 2x + 2 です。展開した x² + 2x を微分しても、同じ 2x + 2 になります。
積の規則の答えを数値で確かめる
docker exec jupyter python3 -c "print(round((3.001 * 5.001 - 2.999 * 4.999) / 0.002, 3))"ここでは表示のみで、実行されません。無料アカウントを作成すると、実行ボタンで自分のラボのターミナルに入力できます。
よくある間違い
注意
積の導関数は、導関数どうしの積だと考えがちです。x × (x + 2) では、1 × 1 で 1 になってしまいます。正しくは 2x + 2 です。片方ずつ微分して足す形を使い、展開した式でも確かめます。