負の数と小数をビットで表す（2の補数）

冬の札幌の気温は -8℃ になることがあります。コンビニの100円のおにぎりは、税込みで100 × 1.1 円です。

前回、1バイトは0から255を表しました。マイナスの記号も小数点もありませんでした。では、コンピュータは0より小さい数や小数をどう記録するのでしょうか。

2の補数では、1バイトのいちばん左のビットの重みを 128 ではなく -128 にします。残りの7ビットは、ふつうの重みのままです。

だから、0で始まるバイトは0か正の数です。1で始まるバイトは負の数です。1バイトで表せるのは -128 から 127 になります。数の種類は、前と同じ256個です。

負の数を早く書く方法があります。まず、正の数を8ビットで書きます。次に、すべてのビットを反転します。0は1に、1は0にします。最後に1を足します。

同じ手順で、負の数を正の数にもどすこともできます。

cd ~/arch

printf 'int main(void) { return -4; }\n' > minus.c

gcc minus.c -o minus

./minus

echo $?

税率の計算は、小数で書くとまちがえやすいです。そこで多くのプログラムは、100 × 110 ÷ 100 のように整数だけで計算します。整数の計算は正確です。

2進数でも、小数点の場所を決めておけます。小数点の右のけたの重みは、2分の1、4分の1、8分の1と半分になります。

固定小数点では、とても大きい数ととても小さい数を同じビットに入れられません。浮動小数点は、数字と指数を分けて記録します。5.75 を 0.575 × 10 と書くようなものです。

0.1 や 1.1 のような多くの小数は、2進数ではぴったり書けません。とても近い値として記録されます。

python3 -c "print(100 * 1.1)"

python3 -c "print(format(1.1, '.20f'))"

あるゲームは、プレイヤーの得点を16ビットの2の補数で記録しています。記録できるいちばん大きい得点と、いちばん小さい得点はいくつですか。

1バイトと同じく、いちばん上のビットの重みはマイナスです。いちばん大きい得点にさらに1点入ると、どうなるかも考えてください。