Une formule pour la pente en tout point
Dériver une fonction, c’est trouver une formule qui donne sa pente en chaque point. Quelques règles suffisent pour les fonctions que l’on rencontre le plus.
Elles évitent de refaire un calcul avec un petit pas à chaque fois. La formule est exacte, plus rapide, et on peut la vérifier avec l’estimation de la leçon précédente.
À la fin de cette leçon
Remarque
Je peux dériver une fonction simple avec les règles de la puissance, de la somme et du produit.
Mots clés
| Mot | Ce que ça veut dire | Exemple |
|---|---|---|
| Fonction | une règle qui donne un y pour chaque x | |
| Dérivée | la formule de la pente en chaque point | |
| Puissance | un nombre multiplié par lui-même n fois | x ** 3 |
| Coefficient | le nombre qui multiplie une puissance de x | |
| Polynôme | une somme de termes comme 3x au carré |
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La règle de la puissance en deux gestes
La règle de la puissance se retient en deux gestes. On descend la puissance devant, puis on la diminue de un.
Ainsi x au carré donne 2x et x au cube donne 3x au carré. Une constante comme 5 ne bouge pas, donc sa dérivée est 0. Un coefficient reste devant : 3 fois x au carré donne 3 fois 2x, soit 6x.
Exemple travaillé : la règle sur cinq termes
| Terme | On descend la puissance | Dérivée |
|---|---|---|
| x | 1 fois x puissance 0 | 1 |
| x au carré | 2 fois x puissance 1 | 2x |
| x au cube | 3 fois x puissance 2 | 3x au carré |
| 3x au carré | 3 fois 2 fois x | 6x |
| 5 | aucune puissance de x | 0 |
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La règle de la puissance en Python
# La dérivée d’un terme a·x^n est (a·n)·x^(n-1).
# On range le résultat dans une liste : [nouveau coefficient, nouvelle puissance].
def deriver_terme(a, n):
return [a * n, n - 1]
print(deriver_terme(3, 2))
print(deriver_terme(5, 1))
print(deriver_terme(2, 4))
# Ajoutez la ligne qui dérive 6x au cube, puis relancez.
Dériver une somme terme par terme
Pour une somme de termes, on dérive chaque terme à part, puis on additionne les résultats. Les constantes disparaissent.
Prenons 3x au carré, plus 2x, plus 5. Les dérivées sont 6x, 2 et 0. La dérivée de la somme est donc 6x plus 2.
Faire dériver un polynôme par NumPy
docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; print(np.polyder([3, 2, 5]).tolist(), np.polyder([1, 0, 0, 0]).tolist())"Affichée ici, non exécutée. Créez un compte gratuit pour appuyer sur Exécuter et la saisir dans le terminal de votre propre labo.
La dérivée d’un produit mélange les deux facteurs
Un produit s’écrit u fois v. Sa dérivée est u prime fois v, plus u fois v prime. Chaque facteur est dérivé à son tour, l’autre restant tel quel.
Prenons u = x et v = x plus 1. On a u prime = 1 et v prime = 1. Le résultat est (x plus 1) plus x, soit 2x plus 1.
Exemple : la règle du produit en 3
| Étape | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| u et v | u = x et v = x plus 1 | u = 3 et v = 4 |
| Leurs dérivées | u prime = 1 et v prime = 1 | 1 et 1 |
| u prime fois v | 1 fois 4 | 4 |
| u fois v prime | 3 fois 1 | 3 |
| Somme | 4 plus 3 | 7 |
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Vérifier la règle du produit
docker exec jupyter python3 -c "f = lambda x: x * (x + 1); h = 0.0001; print(round((f(3 + h) - f(3 - h)) / (2 * h), 3), 2 * 3 + 1)"Affichée ici, non exécutée. Créez un compte gratuit pour appuyer sur Exécuter et la saisir dans le terminal de votre propre labo.
Comparer une règle à une estimation
docker exec jupyter python3 -c "f = lambda x: x ** 3 + 2 * x; h = 0.0001; print(round((f(2 + h) - f(2 - h)) / (2 * h), 3), 3 * 2 ** 2 + 2)"Affichée ici, non exécutée. Créez un compte gratuit pour appuyer sur Exécuter et la saisir dans le terminal de votre propre labo.
Une erreur fréquente
Attention
Beaucoup pensent que la dérivée d’un produit est le produit des dérivées. Avec x fois (x plus 1), cela donnerait 1 fois 1, soit 1. Or la pente en x = 3 est 7. Il faut les deux termes : u prime fois v, plus u fois v prime.
Pour aller plus loin
Essayez de dériver x au carré fois x au cube avec la règle du produit. Comparez avec x puissance 5 dérivée par la règle de la puissance : vous devez retrouver le même résultat.
La leçon suivante dérive des fonctions de deux variables : une dérivée par variable.