Deux lois pour compter et pour mesurer
Une loi de probabilité dit quelles valeurs un résultat peut prendre et avec quelle chance. La loi binomiale compte des succès, la loi normale décrit des mesures en forme de cloche.
Le loueur de vélos veut savoir combien de jours de pluie attendre dans une semaine, et à partir de quand un jour devient exceptionnel.
À la fin de cette leçon
Remarque
Je peux lire une loi binomiale et une loi normale pour estimer une chance.
Mots clés
| Mot | Ce que ça veut dire |
|---|---|
| Essai | une expérience à deux issues, réussie ou non |
| Loi binomiale | la loi du nombre de succès sur plusieurs essais |
| Combinaisons | le nombre de façons de choisir k cas parmi n |
| Loi normale | une loi en cloche, donnée par sa moyenne et son écart type |
| Écart réduit | l’écart à la moyenne, compté en écarts types |
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La loi binomiale compte les succès
On répète n essais identiques et indépendants. Chaque essai réussit avec la même chance p. La loi binomiale donne la chance d’avoir exactement k succès.
Elle se calcule en comptant les façons de placer les k succès. On multiplie par p puissance k, puis par (1 − p) puissance n − k.
Exemple travaillé : trois jours à 30 % de pluie
| Jours de pluie | Façons | Chance d’une façon | Chance totale |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0,7 × 0,7 × 0,7 = 0,343 | 0,343 |
| 1 | 3 | 0,3 × 0,7 × 0,7 = 0,147 | 0,441 |
| 2 | 3 | 0,3 × 0,3 × 0,7 = 0,063 | 0,189 |
| 3 | 1 | 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027 | 0,027 |
| Total | 8 | 1 |
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Les mêmes chances en Python
# Trois jours, chaque jour pluvieux avec la chance p.
p = 0.3
facons = [1, 3, 3, 1]
total = 0
for k in range(4):
chance = facons[k] * p ** k * (1 - p) ** (3 - k)
total = total + chance
print(k, "jour(s) de pluie :", round(chance, 3))
print("total :", round(total, 3))
# Changez p en 0.5, puis relancez.
# Que remarquez-vous sur les quatre chances ?
Pour une semaine, la loi donne huit chances
Sur 7 jours, le nombre de jours de pluie va de 0 à 7. La commande suivante calcule les huit chances avec math.comb, qui compte les façons.
Elle affiche 0,082 pour aucun jour de pluie, puis 0,247, 0,318, 0,227, 0,097, 0,025, 0,004 et 0,0. Le cas le plus probable est 2 jours de pluie. En moyenne, une semaine en compte 7 × 0,3, soit 2,1.
Les huit chances de la semaine
docker exec jupyter python3 -c "import math; print([round(math.comb(7, k) * 0.3 ** k * 0.7 ** (7 - k), 3) for k in range(8)])"Affichée ici, non exécutée. Créez un compte gratuit pour appuyer sur Exécuter et la saisir dans le terminal de votre propre labo.
La loi normale a la forme d’une cloche
Beaucoup de mesures se rangent en cloche : beaucoup de valeurs près de la moyenne, peu aux extrémités. La loi normale est la cloche parfaite. Deux nombres la fixent : sa moyenne et son écart type.
Une règle simple suffit souvent. Environ 68 % des valeurs sont à moins d’un écart type de la moyenne. C’est 95 % à moins de deux, et 99,7 % à moins de trois.
Exemple travaillé : moyenne 270, écart type 80
| Zone | Locations d’un jour | Part des jours attendue |
|---|---|---|
| À un écart type | 190 à 350 | environ 68 % |
| À deux écarts types | 110 à 430 | environ 95 % |
| À trois écarts types | 30 à 510 | environ 99,7 % |
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L’écart réduit compte en écarts types
L’écart réduit d’une valeur est son écart à la moyenne, divisé par l’écart type. Un jour de 430 locations est à (430 − 270) / 80, soit 2 écarts types au-dessus.
La commande suivante donne ceux du jour le plus chargé et du jour le plus calme de l’année. Elle affiche 2,72 puis −2,88 : les deux jours sont proches des extrémités de la cloche.
L’écart réduit des deux jours extrêmes
docker exec jupyter python3 -c "import csv, statistics; v = [int(r['hires']) for r in csv.DictReader(open('hires.csv'))]; m = statistics.mean(v); s = statistics.pstdev(v); print(round((max(v) - m) / s, 2), round((min(v) - m) / s, 2))"Affichée ici, non exécutée. Créez un compte gratuit pour appuyer sur Exécuter et la saisir dans le terminal de votre propre labo.
Une erreur fréquente
Attention
Beaucoup pensent que toute série suit une loi normale et que la règle des 68 % s’applique partout. Elle ne vaut que pour une série à peu près en cloche. Un nombre de succès sur peu d’essais, comme les jours de pluie d’une semaine, suit la loi binomiale.
Pour aller plus loin
Dans un carnet du labo, tracez l’histogramme des locations avec hires["hires"].hist(bins=20). La cloche est-elle bien symétrique ?
Comptez les jours au-dessus de 430 locations et ceux au-dessous de 111. La règle des 95 % prévoit autant de chaque côté. Les données le confirment-elles ?