Vecteurs : somme et longueur

Un vecteur est une liste de nombres qui décrit un déplacement, une position ou les caractéristiques d’un objet. Vous saurez additionner des vecteurs, les multiplier par un nombre et mesurer leur longueur.

Un livreur avance de 3 rues vers l’est, puis de 4 vers le nord. À quelle distance est-il de son départ ? Un vecteur répond.

Le matin, le livreur avance de 3 rues vers l’est et de 1 vers le nord : c’est le vecteur (3, 1). L’après-midi, il fait (2, 4).

Pour trouver son déplacement total, on additionne les premières composantes entre elles, puis les secondes. On obtient (5, 5). Deux vecteurs ne s’additionnent que s’ils ont le même nombre de composantes.

# Déplacement d’un livreur : rues vers l’est, rues vers le nord.
matin = [3, 1]
apres_midi = [2, 4]
total = []
for i in range(len(matin)):
    total.append(matin[i] + apres_midi[i])
longueur = (total[0] ** 2 + total[1] ** 2) ** 0.5
print("total :", total)
print("longueur :", round(longueur, 2))
# Remplacez 4 par 0, puis relancez.
# La longueur monte-t-elle ou descend-elle ?

Une recette pour 2 personnes demande 200 g de farine et 3 œufs : c’est le vecteur (200, 3). Pour 6 personnes, on multiplie par 3. Chaque composante est multipliée.

Un nombre seul, comme ce 3, s’appelle un scalaire. Il change la longueur du vecteur, pas sa direction. Un scalaire négatif retourne le sens.

Le livreur du vecteur (3, 4) est à vol d’oiseau à 5 rues de son départ. On élève chaque composante au carré, on additionne, puis on prend la racine carrée.

Ce nombre est la longueur du vecteur. On l’appelle aussi sa norme. Si on divise un vecteur par sa longueur, on obtient un vecteur de longueur 1, dit unitaire.

Dans le labo, la bibliothèque NumPy range un vecteur dans un tableau et calcule sur toutes ses composantes à la fois.

La première commande additionne (3, 4) et (1, 2), double (3, 4) et mesure sa longueur : elle affiche [4 6], [6 8] et 5.0. La seconde affiche la longueur 5.0 puis le vecteur unitaire [0.6 0.8].

docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; a = np.array([3, 4]); b = np.array([1, 2]); print(a + b, 2 * a, np.linalg.norm(a))"

docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; v = np.array([3, 4]); print(np.linalg.norm(v), v / np.linalg.norm(v))"

Ouvrez un carnet dans JupyterLab. Rangez dans un vecteur la température et la pluie d’un jour de hires.csv, puis mesurez sa longueur avec np.linalg.norm.

Comparez deux jours : la longueur de leur différence dit à quel point ils se ressemblent.