Un sistema de ecuaciones reúne varias pistas
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de pistas sobre números desconocidos. Resolverlo es encontrar los valores que cumplen todas las pistas a la vez.
Aparece al ajustar precios, repartir recursos o calcular una corriente en un circuito. Al acabar sabrás resolver un sistema pequeño por eliminación y decir cuándo no hay una sola respuesta.
Al final de esta lección
Nota
Puedo resolver un sistema pequeño por eliminación y decir cuándo no tiene solución o tiene muchas.
Palabras clave
| Palabra | Qué significa |
|---|---|
| Sistema de ecuaciones | varias ecuaciones con las mismas incógnitas |
| Incógnita | un número que todavía no conoces |
| Eliminación | restar ecuaciones para que desaparezca una incógnita |
| Matriz singular | una matriz que no permite una única solución |
| Determinante | un número que vale 0 si la matriz es singular |
Las celdas que rellenan los estudiantes quedan en blanco en esta vista previa.
Dos pistas sobre una bici y un casco
Una tienda alquila bicis por horas y cascos por unidad. Sea x el precio de una hora de bici e y el precio de un casco, los dos en euros.
Pista 1: dos horas de bici y un casco cuestan 5 euros. Pista 2: una hora de bici y tres cascos cuestan 10 euros. Se escribe 2x + y = 5 y x + 3y = 10.
Eliminar es restar ecuaciones
La idea es dejar una sola incógnita. Multiplica la segunda ecuación por 2 para que tenga también 2x. Después réstale la primera: la x desaparece.
Queda una ecuación con solo y. La resuelves y sustituyes su valor en una ecuación original para encontrar x.
Ejemplo resuelto: eliminación paso a paso
| Paso | Ecuaciones | Qué se hace |
|---|---|---|
| 1 | 2x + y = 5 y x + 3y = 10 | Se parte de las dos pistas |
| 2 | 2x + y = 5 y 2x + 6y = 20 | Se multiplica la segunda por 2 |
| 3 | 5y = 15 | Se resta la primera a la segunda |
| 4 | y = 3 | Se divide entre 5 |
| 5 | x = (5 - 3) / 2 = 1 | Se sustituye y en la primera |
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Sustituye y comprueba el resultado
# El sistema: 2 x + y = 5 y x + 3 y = 10.
# Ya sabes y = 3. Despeja x en la primera ecuación.
y = 3
x = (5 - y) / 2
print("x:", x)
print("comprobación 1:", 2 * x + y)
print("comprobación 2:", x + 3 * y)
# Cambia y a 4 y vuelve a ejecutar.
# ¿Se cumplen las dos ecuaciones? ¿Por qué?
Un sistema usa una matriz y vectores
Los números de las incógnitas forman una matriz A. Las incógnitas forman un vector x y los resultados forman un vector b. Todo el sistema es A por x igual a b.
Aquí A es [[2, 1], [1, 3]], x es [x, y] y b es [5, 10]. Un programa elimina trabajando con las filas de la matriz.
Resuelve el sistema con NumPy
docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; print(np.linalg.solve(np.array([[2.0,1.0],[1.0,3.0]]), np.array([5.0,10.0])).tolist())"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
A veces no hay solución o hay infinitas
Mira x + 2y = 3 junto a 2x + 4y = 6. La segunda es la primera multiplicada por 2: no dice nada nuevo. Hay infinitas parejas que cumplen las dos.
Con 2x + 4y = 7 las pistas se contradicen y no hay ninguna solución. En los dos casos la matriz es singular y su determinante vale 0.
Ejemplo resuelto: tres sistemas con la misma matriz
| Sistema | Qué pasa al eliminar | Soluciones |
|---|---|---|
| x + 2y = 3 y 2x + 4y = 6 | Queda 0 = 0 | Infinitas |
| x + 2y = 3 y 2x + 4y = 7 | Queda 0 = 1 | Ninguna |
| 2x + y = 5 y x + 3y = 10 | Queda 5y = 15 | Exactamente una |
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El determinante de una matriz singular
docker exec jupyter python3 -c "import numpy as np; print(round(float(np.linalg.det(np.array([[1,2],[2,4]]))),3))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Un error muy común
Advertencia
Mucha gente cree que, si al eliminar sale 0 = 0, el sistema no tiene solución. Es al revés: tiene infinitas. Solo cuando sale algo falso, como 0 = 1, no hay ninguna. Mira siempre qué ecuación queda.
Para ir más lejos: tres incógnitas
Con tres incógnitas se hace igual, un paso más. Primero eliminas la x de las filas de abajo, después la y de la última, y sustituyes hacia atrás.
Prueba con el sistema x + y + z = 6, 2y + 5z = -4 y 2x + 5y - z = 27. Comprueba que x = 5, y = 3 y z = -2 cumplen las tres pistas.