La tasa de cambio mide cuánto varía algo
La tasa de cambio es cuánto varía una cantidad por cada unidad que avanza otra. La velocidad es el ejemplo más conocido: cuántos metros cambia tu posición cada segundo.
Saber calcularla con una tabla de números es el primer paso del cálculo, y de todo lo que hace aprender a un modelo.
Al final de esta lección
Nota
Puedo estimar cómo de rápido cambia una cantidad a partir de una tabla de números.
Palabras clave
| Palabra | Qué significa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Tasa de cambio | cuánto varía una cantidad por cada unidad de otra | |
| Pendiente | lo inclinada que está una recta: subida entre avance | |
| Tasa de variación media | el cambio entre dos puntos, dividido entre la distancia que los separa | |
| Paso | la distancia pequeña entre los dos puntos, que se escribe h | h = 0.001 |
| Derivada | la tasa de cambio en un solo punto |
Las celdas que rellenan los estudiantes quedan en blanco en esta vista previa.
La pendiente es la subida entre el avance
Una recta sube lo mismo en cada paso. Su pendiente es la subida dividida entre el avance. Si la tarifa sube 1,20 € por kilómetro, la pendiente es 1,2.
Una curva no sube lo mismo en todas partes. Por eso su tasa de cambio depende de entre qué puntos la midas.
Ejemplo resuelto: un patinete que acelera
| Segundo | Posición (m) | Metros ganados ese segundo |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 5 |
| 4 | 16 | 7 |
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La tasa de los alquileres en una semana
docker exec jupyter python3 -c "import csv; d=list(csv.DictReader(open('hires.csv'))); a=int(d[0]['hires']); b=int(d[6]['hires']); print(a, b, round((b-a)/6, 1))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
La tasa de variación media usa dos puntos
Para medirla, toma dos puntos, a y b. Resta el valor en a al valor en b. Divide el resultado entre b menos a.
Con el patinete, entre los segundos 2 y 3 se gana 5 m en 1 s. La tasa media es 5 m/s, pero la velocidad real va cambiando dentro de ese segundo.
Calcula la tasa media con Python
# Posición de un patinete: t segundos, t * t metros.
def posicion(t):
return t * t
a = 2
b = 3
tasa = (posicion(b) - posicion(a)) / (b - a)
print("Tasa de variación media:", tasa, "m/s")
# Cambia b a 2.5 y ejecuta otra vez.
# ¿Qué pasa con la tasa cuando b se acerca a a?
Un error muy común
Advertencia
Mucha gente cree que la velocidad en un instante es la media de todo el trayecto. No lo es. La media usa dos puntos lejanos, y si aceleras, no coincide con la velocidad de un instante concreto.
Con un paso minúsculo aparece la derivada
Acerca los dos puntos: usa un paso h muy pequeño. La tasa entre 3 y 3 + h se acerca a un número fijo. Ese número es la derivada en 3, la velocidad en ese instante.
No puedes poner h igual a 0, porque dividirías entre cero. Por eso se usa un paso pequeño, nunca cero.
Ejemplo resuelto: cinco pasos cada vez más pequeños
| Paso h | Tasa entre 3 y 3 + h | Qué ves |
|---|---|---|
| 1 | 7 | Lejos de 6 |
| 0,1 | 6,1 | Más cerca |
| 0,01 | 6,01 | Casi 6 |
| 0,001 | 6,001 | La derivada en 3 es 6 |
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Reduce el paso en el laboratorio
docker exec jupyter python3 -c "f=lambda t: t*t; print([round((f(3+h)-f(3))/h, 4) for h in (1, 0.1, 0.01, 0.001)])"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Para ir más lejos: mide otra semana
En el comando de la semana, cambia los dos días (0 y 6) y el divisor 6 por otros números. Mide así la tasa de variación media de los alquileres. Antes de ejecutar, escribe si esperas un número positivo o negativo.
Después compara una semana de enero con una de julio y explica la diferencia con tus palabras.