Derivar es hallar una fórmula de la tasa
Derivar una función es hallar una fórmula que da su tasa de cambio en cualquier punto. Con tres reglas sencillas derivas un polinomio sin probar con pasos pequeños.
En informática sirve para saber cuánto crece un coste cuando el trabajo aumenta, o hacia dónde corregir un modelo.
Al final de esta lección
Nota
Puedo derivar una función sencilla con las reglas de la potencia, la suma y el producto.
Palabras clave
| Palabra | Qué significa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Derivada | la fórmula que da la tasa de cambio en cada punto | |
| Regla de la potencia | la derivada de x elevado a n es n por x elevado a n - 1 | x ** 3 pasa a 3 * x ** 2 |
| Regla de la suma | una suma se deriva término a término | |
| Regla del producto | cómo se deriva una función multiplicada por otra | |
| Coste marginal | lo que cuesta producir una unidad más |
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La regla de la potencia baja el exponente
Para derivar x elevado a n, multiplica por n y baja el exponente en uno. La derivada de x ** 2 es 2 * x. La de x ** 3 es 3 * x ** 2.
La derivada de un número solo, como 5, es 0, porque nunca cambia. La de x es 1: sube una unidad por cada unidad que avanza.
Ejemplo resuelto: la regla de la potencia
| Función | Derivada | Por qué |
|---|---|---|
| `5` | `0` | Un número solo no cambia |
| `x` | `1` | Sube 1 por cada 1 que avanza |
| `x ** 2` | `2 * x` | n vale 2: 2 por x elevado a 1 |
| `x ** 3` | `3 * x ** 2` | n vale 3: 3 por x elevado a 2 |
| `x ** 4` | `4 * x ** 3` | n vale 4: 4 por x elevado a 3 |
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La regla de la suma deriva cada término
Un número que multiplica se queda donde está. Una suma se deriva término a término. Para 3 * x ** 2 + 2 * x + 5, deriva cada parte: 6 * x, 2 y 0.
El resultado es 6 * x + 2. Si la función es un coste, esto es su coste marginal.
Ejemplo resuelto: el coste de x horas
| Término | Derivada |
|---|---|
| `x ** 3` | `3 * x ** 2` |
| `2 * x` | `2` |
| Suma: `x ** 3 + 2 * x` | `3 * x ** 2 + 2` |
| En x = 2 | 3 * 4 + 2 = 14 |
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Comprueba una derivada con una biblioteca
docker exec jupyter python3 -c "import sympy as sp; x=sp.symbols('x'); print(sp.diff(x**3+2*x, x))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Compárala con un paso pequeño
docker exec jupyter python3 -c "f=lambda x: x**3+2*x; print(round((f(2.001)-f(1.999))/0.002, 3))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
La regla y el paso pequeño coinciden
# Coste en euros de x horas de cálculo en la nube.
def coste(x):
return x ** 3 + 2 * x
def derivada(x):
# La regla de la potencia y la de la suma.
return 3 * x ** 2 + 2
x = 2
h = 0.001
numerica = (coste(x + h) - coste(x - h)) / (2 * h)
print("Con la regla:", derivada(x))
print("Con pasos pequeños:", round(numerica, 3))
# Cambia x a 5 y ejecuta otra vez.
# ¿Siguen coincidiendo los dos números?
La regla del producto no multiplica derivadas
Para derivar f por g, deriva f y multiplícala por g. Después suma f multiplicada por la derivada de g. En símbolos cortos: f' por g, más f por g'.
Con x * (x + 1): f es x, con derivada 1; g es x + 1, con derivada 1. El resultado es 1 * (x + 1) + x * 1, que es 2 * x + 1.
Ejemplo resuelto: derivar x por x + 1
| Paso | Cuenta | Valor en x = 3 |
|---|---|---|
| Derivada de f por g | 1 * (x + 1) | 4 |
| f por derivada de g | x * 1 | 3 |
| Suma | 2 * x + 1 | 7 |
| Comprobación con x ** 2 + x | 2 * x + 1 | 7 |
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Un error muy común
Advertencia
Mucha gente deriva un producto multiplicando las dos derivadas. Con x por x + 1 saldría 1 por 1, que es 1, y la derivada real en x = 3 es 7. Aplica siempre la regla del producto.
Para ir más lejos: tu propia función
En el comando de SymPy, cambia x**3+2*x por una función tuya, por ejemplo x**4-5*x. Antes de ejecutar, escribe a mano su derivada con la regla de la potencia.
Después compara tu respuesta con la de la biblioteca.