Cuántas contraseñas son posibles
Contar sin escribir una lista es la idea de la combinatoria: decir cuántas opciones existen sin enumerarlas. Con la regla del producto, las permutaciones y las combinaciones calculas cuántas contraseñas o cuántos equipos son posibles.
Un PIN de cuatro cifras tiene 10 000 posibilidades. Un banco quiere saber si añadir una cifra más compensa. Contar te da la respuesta.
Al final de esta lección
Nota
Puedo contar elecciones y ordenaciones con el producto, las permutaciones y las combinaciones.
Palabras clave
| Palabra | Qué significa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Regla del producto | si eliges en pasos, multiplicas las opciones de cada paso | |
| Factorial | el producto de todos los enteros desde n hasta 1 | 4! = 24 |
| Permutación | una elección en la que el orden importa | |
| Combinación | una elección en la que el orden no importa | |
| Repetición | poder usar el mismo elemento más de una vez |
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La regla del producto multiplica las opciones
Una cafetería de campus ofrece un menú: 3 primeros, 4 segundos y 2 postres. Eliges uno de cada. Cada primero se combina con cada segundo, y cada pareja con cada postre.
Por tanto hay 3 × 4 × 2 = 24 menús distintos. Esta es la regla del producto: multiplicas las opciones de cada paso.
Ejemplo resuelto: cuatro casos del producto
| Situación | Opciones por paso | Total |
|---|---|---|
| Menú de la cafetería | 3, 4 y 2 | 24 |
| PIN de 4 cifras | 10, 10, 10 y 10 | 10 000 |
| Clave de 3 letras (26 letras) | 26, 26 y 26 | 17 576 |
| Un byte (8 bits) | 2 ocho veces | 256 |
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El producto en Python
python3 -c "print(3 * 4 * 2, 10 ** 4, 26 ** 3)"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Los bits del laboratorio
python3 -c "print(2 ** 8, 2 ** 32, 32 * 32)"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Una permutación cuenta ordenaciones
Cinco corredores terminan una carrera. ¿De cuántas formas pueden ocupar los tres puestos del podio? El primero tiene 5 opciones, el segundo 4 y el tercero 3.
Son 5 × 4 × 3 = 60. Cuando colocas todos, el producto es el factorial: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Aquí el orden importa, y nadie se repite.
Una combinación ignora el orden
Ahora elige 3 personas de 5 para un equipo. Ana, Luis y Marta son el mismo equipo en cualquier orden. Cada equipo de 3 aparece en 3! = 6 ordenaciones.
Por eso divides: 60 ÷ 6 = 10 equipos. La combinación es la permutación dividida entre el factorial de lo que eliges.
Ejemplo resuelto: parejas de cuatro letras
| Orden importa | Cuántas | Lista |
|---|---|---|
| Sí, permutaciones de 2 | 12 | AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC |
| No, combinaciones de 2 | 6 | AB AC AD BC BD CD |
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Factorial, permutaciones y combinaciones
python3 -c "import math; print(math.factorial(5), math.perm(5, 3), math.comb(5, 3))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Python lista las parejas
python3 -c "import itertools; print(list(itertools.combinations('ABCD', 2)), len(list(itertools.permutations('ABCD', 2))))"Se muestra aquí y no se ejecuta. Crea una cuenta gratuita para pulsar Ejecutar y escribirlo en el terminal de tu propio laboratorio.
Un error frecuente
Advertencia
Mucha gente usa la palabra combinación cuando el orden importa, como en un candado. Prueba esto: si cambiar el orden da otro resultado, el orden importa. Un candado 1-2-3 no es el 3-2-1, así que cuenta ordenaciones.